Triangulation de Delaunay incrémentale

De l'algorithme à l'implémentation

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I. Introduction

Algorithme

implémentation

Optimisation

Présentation de l'algorithmique géométrique Computational Geometry

Deux dimensions

II. Présentation de la triangulation de Delaunay

Voronoi

Enveloppe convexe

Plus proche voisin

Eléments finis

Modélisation de terrains et de surfaces.

III. Algorithme incrémental

http://en.wikipedia.org/wiki/Bowyer%E2%80%93Watson_algorithm

Principes

Déroulement visuel

http://www.photosnack.com/YahikoUzumaki2/incremental-delaunay-triangulation.html

Etape 1) Initialisation

On initialise l'algorithme avec un triangle fictif, englobant l'ensemble des points à trianguler. Ce triangle étant par nature une triangulation de Delaunay pour ses trois poins, ceci va nous permettre d'utiliser l'algorithme incrémental qui s'applique sur une triangulation de Delaunay pré-existante.

L'important étant que cette initialisation fournit une triangulation de démarrage avec les trois points du triangle fictif.

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Triangle fictif englobant 8 points à trianguler

Etape 2) Insertion d'un point

À la triangulation existante, on ajoute un point de notre ensemble à trianguler. Il peut être choisi au hasard même si selon la topologie il peut être judicieux d'ordonner l'insertion des points selon certains critères.

Une fois le point sélectionné, on recherche l'ensemble des triangles dont le cercle circonscrit contient strictement le point concerné.

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Insertion du point p5

Etape 3) Suppression et création de triangles

Les triangles dont le cercle circonscrit contiennent le nouveau point inséré ne vérifient plus la condition de Delaunay. On dit aussi que ces triangles sont illégaux. Ils doivent par conséquent être supprimés de la triangulation en cours. Les autres triangles dont le cercle circonscrit ne contient pas le nouveau point inséré sont conservés dans la triangulation en cours.

L'ensemble de ces triangles illégaux forment un polygone connexe dont le contour, qu'on nommera frontière, va nous servir à construire les nouveaux triangles.

Les triangles illégaux sont donc supprimés, et on crée autant de nouveaux triangles qu'il y a de segments formant le contour, chaque segment du contour servant de côté à chaque nouveau triangle.

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Suppression du triangle illégal (p9, p10, 111) puis création des triangles (p11, p9, p5), (p9, p10, p5) et (p10, p11, p5).

Tant qu'il reste des points à insérer, on recommence le procéder à l'étape 2). Ce n'est que lorsqu'il ne reste plus aucun point à traiter qu'on peut passer à la finalisation.

Point

Etape 2)

Etape 3)

p5

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P4

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p6

   

p8

   

p2

   

p7

   

p3

   

p1

   

Etape 4) Finalisation

Cette étape consiste simplement à nettoyer la triangulation des triangles contenant les points du triangle fictif englobant du départ.

Une fois la triangulation débarrassée de ces triangles désormais encombrant, nous avons notre triangulation finale respectant la condition de Delaunay.

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IV. Modélisation géométrique

IV-A. Structures de données

Point

x : nombre

y : nombre

Segment

a : Point

b : Point

Cercle

centre: Point

rayon : nombre

Triangle

sommets : liste de 3 Points

circonscrit : Cercle

Le terme de « triangulation » désignera une liste de Triangles.

IV-B. Opérations

creerTriangleEnglobant

entrée : liste de points P.

sortie : Triangle t tel que n'importe quel point pi de P est à l'intérieur de t.

calculerCercleCirconscrit

entrée : Triangle t.

sortie : Cercle c tel que c est le cercle circonscrit de t.

obtenirCotesTriangle

entrée : Triangle t.

sortie : liste de Segments S tel que S soit égal à l'ensemble des côtés de t.

supprimerCotesCommuns

entrée : liste de Segments S.

sortie : liste de Segments S' tel que s'il existe s1 et s2 de S avec s1 = s2, alors s1 et s2 n'appartiennent pas à S'.

obtenirFrontiere

entrée : liste de Triangles T

sortie : liste de Segments S tel que s'il existe s1 et s2 côtés de T avec s1 = s2, alors s1 et s2 n'appartiennent pas à S'.

rechercherTrianglesConteneurs

entrée : Point p, liste de Triangles T.

sortie : liste de Triangle T' et T'' tel que pour chaque t' élément de T' on a p à l'intérieur (bord exclu) du cercle circonscrit de t'.

ajouterPoint

entrée : Point p, liste de Triangles T.

sortie : liste de Triangles T' tel que T' contient l'ensemble des points de T ajouté de p et où p est le sommet d'au moins un triangle t' de T'.

trianguler

entrée : liste de Points P.

sortie : liste de Triangles T tel que T est la triangulation de Delaunay de P.

IV-C. Pseudo-code

Fonction trianguler(P)

// Initialisation

Soit t0 = creerTriangleEnglobant(P)

Soit T = [ t0 ]

// Boucle sur les Points

Pour chaque Point p de P

ajouterPoint(p, T)

Fin pour

// Suppression du triangle englobant

Pour chaque Point p de t0.sommets

Soit I l'ensemble des triangles de T ayant p comme sommet.

T = T - I

Fin pour

retourne T

Fin trianguler

Fonction ajouterPoint(p, T)

// Suppression des triangles dont le cercle circonscrit contient p

Soit D = rechercherTrianglesConteneurs(p, T)

Pour chaque Triangle t de D

T = T - t

Fin pour

// Création de nouveaux triangles vérifiant la condition de Delaunay

Soit F = obtenirFrontiere(D)

Pour chaque Segment s de F

Soit t = Triangle(s.a, s.b, p)

T = T + [t]

Fin pour

Fin ajouterPoint

V. Implémentation en TypeScript

Code source

Visualisation

VI. Optimisations

Cercle circonscrit

Balayage

Adjacence

VII. Conclusion

Flip

balayage

diviser pour régner

généralisation en dimension supérieure

géométrie non-euclidienne

VII-A. Remerciements

VIII. Références

Bowyer

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